はじめに
ここでは$\sin ^{-1}x$と$\cos ^{-1}x$の積分をする。arc、つまり逆関数の方だから注意。
※この記事は元記事と内容は同じです。Google検索に登録されなかったので再掲した次第です。
$\sin ^{-1}x$と$\cos ^{-1}x$の積分
$f\left( x\right) =\sin ^{-1}x$と置くと、
$f'\left( x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
よって、部分積分をして
$\displaystyle\int \sin^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x-\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
$1-x^2=t$と置くと、$-2xdx=dt$より
$xdx=-\dfrac{dt}{2}$なので、
$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\dfrac{1}{2}\int
\dfrac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$
したがって
$\displaystyle\int \sin ^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x+\sqrt{1-x^{2}}+C$
$\sin ^{-1}x$の方はこれで終わり。
$\cos ^{-1}x$の場合もやり方は同じで
$g\left( x\right) =\cos ^{-1}x$と置くと
$g\left( x\right) =-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$であるので
上の結果の$\sin ^{-1}x$を$\cos ^{-1}x$に、$+\sqrt{1-x^{2}}$を$-\sqrt{1-x^{2}}$に変えればよいだけ。
なので、
$\displaystyle\int \cos ^{-1}xdx=x\cos ^{-1}x-\sqrt{1-x^{2}}+C$
である。
気になるなら実際にやってみて答えが合うか確かめよう。
ただ、こういうのは片方がでたらもう片方は楽するのが普通。
おすすめ
数学記事まとめです⇩
