【部分積分】sin^-1xとcos^-1xの積分（ArcsinxとArccosx）-数学の島

はじめに

ここでは $\sin ^{-1}x$ と $\cos ^{-1}x$ の積分をする。arc、つまり逆関数の方だから注意。

※この記事は元記事と内容は同じです。Google検索に登録されなかったので再掲した次第です。

$f\left( x\right) =\sin ^{-1}x$ と置くと、

$f'\left( x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

よって、部分積分をして

$\displaystyle\int \sin^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x-\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$

$1-x^2=t$ と置くと、 $-2xdx=dt$ より

$xdx=-\dfrac{dt}{2}$ なので、

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$

したがって

$\displaystyle\int \sin ^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

$\sin ^{-1}x$ の方はこれで終わり。

$\cos ^{-1}x$ の場合もやり方は同じで

$g\left( x\right) =\cos ^{-1}x$ と置くと

$g\left( x\right) =-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ であるので

上の結果の $\sin ^{-1}x$ を $\cos ^{-1}x$ に、 $+\sqrt{1-x^{2}}$ を $-\sqrt{1-x^{2}}$ に変えればよいだけ。

なので、

$\displaystyle\int \cos ^{-1}xdx=x\cos ^{-1}x-\sqrt{1-x^{2}}+C$

である。

気になるなら実際にやってみて答えが合うか確かめよう。

ただ、こういうのは片方がでたらもう片方は楽するのが普通。