一次独立ならば基底であることを示す【線形代数】

次元の勉強のついでに上を示してみよう。

問として書き直すならば、

$\dim V=n$とし、$V$のベクトル$a_{1},\ldots ,a_{n}$が一次独立ならば、これらは$V$の基底である。

これを示せ。

といった所だろう。

ちなみに、この逆は、基底そのものの条件であるので明らかである。

※一次独立で、かつもとのベクトル空間を生成するものが基底。

$a_{1},\ldots ,a_{n}$に追加で$V$の任意のベクトルを取っておく。

これを単に$a$とする。

すると、$\dim V=n$より$a_{1},\ldots ,a_{n},a$は一次従属となる。

なので、$a$は$a_{1},\ldots ,a_{n}$の一次結合で表せ、

（$a$は$V$の任意のベクトルであったので）

$a_{1},\ldots ,a_{n}$は$V$を生成する。

よって基底の条件を満たす。

おわり。

※メモ※

『一次従属ならば、$a$は$a_{1},\ldots ,a_{n}$の一次結合で（一意的に）表せる』というのを当たり前として扱ったが、場合によってはこれも示せと言われる場合もある。明らかと言いたいところだが、証明しようとすると少し長い。なので、これ単体ならアタリマエとして使ってもよいとことわりがあるはず。

※まとめ※

結局、基底の条件で

一次独立がわかっているなら、生成を示せばよいし、

生成がわかっているなら一次独立を示せばよいだけ。

確認としてやればよい練習だ（筆者も復習で今回やった）。

数学記事まとめ⇩