【線形代数】表現行列の簡単な求め方（例題付き）

⇩主サイト（下記事）で全く同じ内容の記事があり、

そちらの方が見やすいのでおすすめです。⇩

★例題から入ってもよいのですが、

そもそもの話で、表現行列って何？という方向けに定義を確認しておきます。

$V$を$n$次元ベクトル空間とし、$a_{1},\ldots ,a_{n}$を基底とする。

同じように

$W$を$m$次元ベクトル空間とし、$b_{1},\ldots ,b_{m}$を基底とする。

このとき、線形写像$f:V\rightarrow W$において、

$f(a_{i}),( i= 1,\ldots ,n) $は$b_{1},\ldots ,b_{m}$の一次結合なので、

$\begin{aligned}f\left( a_{1}\right) =a_{11}b_{1}+a_{11}b_{2}+\ldots +a_{m1}b_{m}\\f\left( a_{2}\right) =a_{21}b_{1}+a_{22}b_{2}+\ldots +a_{m2}b_{m}\\\vdots \\f\left( a_{n}\right)=a_{n1}b_{1}+a_{n2}b_{2}+\ldots +a_{mn}b_{m}\end{aligned}$

このように表せる。

ここで、係数を取り出して、（上の場合だと）

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n} \\a_{n1}^{\vdots } & a_{n2} & \ldots  & a_{mn}\end{pmatrix}$

これが$f$の表現行列である。

定義の確認をしたところで、例題を二つ用意したのでそれを解いてみよう。

まずは$\mathbb{R} ^{2}$の場合で見てみよう。

線形写像$f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}$,

$f\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+y \\-x-5y\end{pmatrix}$

であり、

基底が、$\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\-1\end{pmatrix}$だったとする。

このときの表現行列を求めてみよう。

分かりやすくするために、

$a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}0 \\-1\end{pmatrix}$

としておく。

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}3 \\-1\end{pmatrix}$であり、

これは$c_{1},c_{2}$を使って次のようにおける。

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}3 \\-1\end{pmatrix}=c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}$

あとは、これを解いて、

$c_{1}=3,c_{2}=1$

$f\left( a_{2}\right) $も同様にして、

$f\left( a_{2}\right) =\begin{pmatrix}-1 \\5\end{pmatrix}=-a_{1}-5a_{2}$

となるので、求める表現行列は、

$\begin{pmatrix}3 & -1 \\1 & -5\end{pmatrix}$

である。

次は$\mathbb{R} ^{3}$の場合で見てみよう。

といってもやり方は同じなのですぐにできるはず。

線形写像$f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}$,

$f\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y-z \\x+2y \\-2x+z\end{pmatrix}$

このときの表現行列を求めてみよう。

上と同じく、分かりやすいように

$a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}0 \\-1 \\0\end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\-1\end{pmatrix}$としておく。

すると$f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right) $は、

$f\left( a_{1}\right) =\begin{pmatrix}0 \\1 \\-2\end{pmatrix}=-a_{2}+2a_{3}$

$f\left( a_{2}\right) =\begin{pmatrix}-1 \\-2 \\0\end{pmatrix}=-a_{1}+2a_{2}$

$f\left( a_{3}\right) =\begin{pmatrix}1 \\0 \\-1\end{pmatrix}=a_{1}+a_{3}$

となるので、求める表現行列は、

$\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\-1 & 2 & 0 \\2 & 0 & 1\end{pmatrix}$

である。

基本、このとおりにやれば簡単に求まる。

予告：次の記事は少し難しめの表現行列の問題を解く。

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