はじめに
ここでは、アルキメデスの原理（性質）と稠密性について解説します。
※この記事は元記事と内容は同じです。Google検索に登録されなかったので再掲した次第です。
アルキメデスの原理とは
誤解のないように数学の方のアルキメデスの原理です。
アルキメデスの原理とは、
任意の実数a,b >0に対し、na >bとなるn\in \mathbb{N} が存在する。…①
というものです。
下で証明（簡略版）します。
証明
（※矛盾を使います。）
つまり、上の①より、bはnaの上界でないことを言っているので
bをnaの上界として矛盾を導けばよい。
cを naの上限とすると、
na\leq c…②となる。
このとき、c-a ＜cであり、このc-aはcの上界ではない。
よって、c-a ＜naとなるものがあり、c ＜\left( n+1\right) aとなる。
しかし、n+1\in \mathbb{N} なので、これは②に矛盾する。
これでOK。
次は、実数の稠密性について。
稠密性とは
任意の実数a,b（ただし、a＜b）に対し、
a＜x＜bを満たすx\in \mathbb{Q}が存在する。
というものです。
下で証明します。
証明
※上のアルキメデスの原理を使う。
a＜bなので、b-a ＞0であり、
n\left( b-a\right) ＞1となるn\in \mathbb{N} が存在する。
また、アルキメデスの原理より、
m_{1} ＞naとm_{2} ＞-naを満たすm_{1},m_{2}\in \mathbb{N} が存在する。
これより、-m_{2} ＜na ＜m_{1}
よって、m-1\leq na ＜mを満たす mが存在し、
この mは-m_{2}\leq m\leq m_{1}であるものとする。
なので、
na ＜m\leq 1+na ＜nb
である。
※最後はn\left( b-a\right) ＞1を利用した。
あとは nで割ってやって、
a＜\dfrac{m}{n}＜bが得られ、
x=\dfrac{m}{n}とおいてやると、a＜x＜bとなる。
これでOK。
