はじめに
ここでは、アルキメデスの原理（性質）と稠密性について解説します。
※この記事は元記事と内容は同じです。Google検索に登録されなかったので再掲した次第です。
アルキメデスの原理とは
誤解のないように数学の方のアルキメデスの原理です。
アルキメデスの原理とは、
任意の実数$a,b >0$に対し、$na >b$となる$n\in \mathbb{N} $が存在する。…①
というものです。
下で証明（簡略版）します。
証明
（※矛盾を使います。）
つまり、上の①より、$b$は$na$の上界でないことを言っているので
$b$を$na$の上界として矛盾を導けばよい。
$ c$を$ na$の上限とすると、
$na\leq c$…②となる。
このとき、$c-a ＜c$であり、この$c-a$は$c$の上界ではない。
よって、$c-a ＜na$となるものがあり、$c ＜\left( n+1\right) a$となる。
しかし、$n+1\in \mathbb{N} $なので、これは②に矛盾する。
これでOK。
次は、実数の稠密性について。
稠密性とは
任意の実数$a,b$（ただし、$a＜b$）に対し、
$a＜x＜b$を満たす$x\in \mathbb{Q}$が存在する。
というものです。
下で証明します。
証明
※上のアルキメデスの原理を使う。
$a＜b$なので、$b-a ＞0$であり、
$n\left( b-a\right) ＞1$となる$n\in \mathbb{N} $が存在する。
また、アルキメデスの原理より、
$m_{1} ＞na$と$m_{2} ＞-na$を満たす$m_{1},m_{2}\in \mathbb{N} $が存在する。
これより、$-m_{2} ＜na ＜m_{1}$
よって、$m-1\leq na ＜m$を満たす$ m$が存在し、
この$ m$は$-m_{2}\leq m\leq m_{1}$であるものとする。
なので、
$na ＜m\leq 1+na ＜nb$
である。
※最後は$n\left( b-a\right) ＞1$を利用した。
あとは$ n$で割ってやって、
$a＜\dfrac{m}{n}＜b$が得られ、
$x=\dfrac{m}{n}$とおいてやると、$a＜x＜b$となる。
これでOK。
