交代行列の定義と性質
まずは定義の確認から。
交代行列とは正方行列Aに対し、A^{T}=-Aとなるものをいう。
以下では、これを使っていくつか性質（例題）を紹介する。
例題１：対角成分は０
これはメインサイトで紹介したものだが（元記事）、再掲する。
行列を思い浮かべれば自然とわかるものだが、
交代行列は対角成分が0となる。
これを確かめよう。
まず上の定義より、交代行列ならA^{T}=-Aとなる。
つまり、A+A^{T}=0とできる。
成分で見てみると、a_{ij}+a_{ji}=0なので、
対角成分のみで見るのでiで揃えると、
a_{ii}+a_{ii}=0である。
これを解いて、a_{ii}=0
つまり、対角成分は０
例題２：対称かつ交代行列ならば、ゼロ行列となる
これは簡単に確かめられる。
まず、対称行列ならば、A^{T}=Aである。
そして、交代行列ならば、A^{T}=-Aである。
これらをあわせて、A=-Aであることがわかるので、
結局、A=0で、ゼロ行列となる。
例題３：対称と交代の和で唯一つで表せる
もっと丁寧に言えば、
『正方行列は対称行列と交代行列の和で唯一つで表せる』
というよくある一意性の証明。
上の例題２の応用ともとれ、そこそこ難しい。
下で証明してみる。
とりあえず、対称行列と交代行列は既知として進める。
そのうえで、行列Aは
A=\dfrac{A+A^{T}}{2}+\dfrac{A-A^{T}}{2}とできる。
ここで、\dfrac{A+A^{T}}{2}は対称行列、\dfrac{A-A^{T}}{2}は交代行列となっているので、
『正方行列は対称行列と交代行列の和で表せる』までは示せれた。
あとは、一意性の証明。
Aが対称行列Bと交代行列Cを使って、
A=B_{1}+C_{1}=B_{2}+C_{2}と二通りで表せたとしよう。
このとき、
D=B_{1}-B_{2}=C_{2}-C_{1}として、D=0を示せばよい。
なので（後付け的なやり方にはなるが）、
Bが対称行列なので、
D^{T}=\left( B_{1}-B_{2}\right) ^{T}=B_{1}^{T}-B_{2}^{T}=B_{1}-B_{2}=D
D^{T}=Dより、Dは対称行列である。
Cが交代行列なので、
D^{T}=\left( C_{2}-C_{1}\right) ^{T}=C_{2}^{T}-C_{1}^{T}=-C_{2}+C_{1}=-D
D^{T}=-Dより、Dは交代行列である。
以上より、Dは、対称かつ交代行列なので、ゼロ行列（例題２）。
よって、D=0となって一意性が示せれた。 \because )
B_{1}=B_{2},C_{1}=C_{2}
おまけ
そこまで重要ではないのでおまけとするが、
n次正方行列の行列式で
\left| A\right| =\left| A^{T}\right| =\left| -A\right| =\left( -1\right)
^{n}\left| A\right|
なので、nが奇数の時に0となることがわかる。
これについては、そのままwikiに載ってあったので気になったら（wiki）。
まとめ
大体、上の事実を知っていれば交代行列で困ることはないと思う。
他に、行列式→固有値と進めば、まだ出てくるが、A^{T}=-Aに従えば問題ない。
※例えば固有値\lambdaを持つなら-\lambda も固有値だとか。
最後に宣伝までに、他にも線形代数の記事を書いているのでよかったらそちらも。
下のおすすめでリンクがあります。
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