はじめに
ここでは、ド・モアブルの定理（公式）の数学的帰納法の証明をします。
※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。
※この記事は元記事と内容は同じです。Google検索に登録されなかったので再掲した次第です。
数学記事まとめはこちらド・モアブルの定理とは？
$\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$
これをド・モアブルの定理（公式）という。
以下でしっかりと証明するが、ざっくりいうと、
$\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \left( \cos \varphi +i\sin
\varphi \right) =\cos \left( \theta +\varphi \right) +i\sin \left( \theta
+\varphi \right)$
上式を繰り返すだけだ。
中の計算がどうなっているかは、加法定理を使えばわかる。
自信が無いなら次の証明に進む前に確認してほしい。
数学的帰納法での証明
$n=1$のときはそのままなのでOK
$n$のとき成立すると仮定すると
$\begin{aligned}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)
^{n+1}&=\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) \left( \cos \theta
+i\sin \theta \right)& \\ &=\cos \left( n\theta +\theta \right) +i\sin
\left( n\theta +\theta \right) &\\ &=\cos \left( n+1\right) \theta
+i\sin \left( n+1\right) \theta &\end{aligned}$
</div>
$n+1$のときも成立。（終）
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