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一次従属ならば、また一次従属になる例と証明

2021年12月15日水曜日

数学 線形代数

t f B! P L

 一次従属ならば、また一次従属になる例

線形代数の問題を見ていればよく見かけるこの例(問)。
せっかくなので解いてみよう。
今回は一次従属についてだが、次の記事では一次独立についてもする。
あわせて見てほしい。

例:

前提として、n<mとする。
a_{1},\ldots ,a_{n}が一次従属であれば、
a_{1},\ldots ,a_{m}も一次従属である。

下でこれを示す。

証明:

a_{1},\ldots ,a_{n}が一次従属であれば、
c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+\ldots +c_{n}a_{n}=0かつ、
あるiにおいてc_{i}\neq 0となるものが存在する。

あとは上式は
c_{1}a_{1}+\ldots +c_{n}a_{n}+0\cdot a_{n+1}+\ldots +0\cdot a_{m}=0
と等しいので、
a_{1},\ldots ,a_{m}においても、
c_{i}\neq 0となるものが存在するので一次独立でない。
すなわち一次従属である。

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