文字入りで逆行列を求める
院試対策として1問用意した。
レベル的には、大問の(1)ぐらいに出そうだと思われる。
ただ、旧帝クラスでは出ないかもしれない。普通の試験でやりそう。
問
以下の行列が正則であるとき、逆行列を求めよう。
$\begin{pmatrix}a & b & c \\c & a & b \\b & c &
a\end{pmatrix}$
解き方
まず、逆行列の求め方は、
$A^{-1}=\dfrac{1}{\left| A\right| }\tilde{A}$
である。
このとおりにすれば問題ないが、余因子行列を求めるのが疲れる。
行列式は3×3のサラスにしたがってやればすぐに出る。
ここでは元から正則だとしたが、その条件がなければ、
この行列式が０にならないことを示すことから始まる。
以下、解を載せるが、一旦各自で解いてみてから見よう。
解
行列式を求めると、
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
となる。
（※規則性よりサラスで2,3秒で出せるのが理想）
次、余因子行列を求める。
途中の過程は省略。
$\begin{pmatrix}a^{2}-bc & c^{2}-ab & b^{2}-ca \\b^{2}-ca &
a^{2}-bc & c^{2}-ab \\c^{2}-ab & b^{2}-ca & a^{2}-bc\end{pmatrix}$
となる。
あとは、上で確認した通りで、
逆行列は、
$\dfrac{1}{\left| a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\right| }\begin{pmatrix}a^{2}-bc &
c^{2}-ab & b^{2}-ca \\b^{2}-ca & a^{2}-bc & c^{2}-ab \\c^{2}-ab
& b^{2}-ca & a^{2}-bc\end{pmatrix}$
と求まる。
以上。
ここで、単位行列を隣に並べてやるのはおすすめしない。
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