行列式と逆行列の関係
正則行列、という条件下において、次が成立する。$\left| A^{-1}\right| =\left| A\right| ^{-1}$
これを示そう。
証明
行列式には次が成立する。
$\left| AB\right| =\left| A\right| \cdot \left| B\right| $
これに注意すれば、
$\left| A\right| \left| A^{-1}\right| =\left| AA^{-1}\right| =\left| E\right| =1$
がいえるので、結果、
$\left| A\right| \left| A^{-1}\right| =1$
両辺を$\left| A\right|$で割って求める式が得られる。
また、最後で行列式で割ったところだが、
これは、$\left| A\right| \neq 0$でなければならない。
始めの条件で正則だと決めたのはこのことからである。
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