級数におけるコーシーの収束条件

メインサイトで絶対収束の話をしているのでそれに関するお話です。

まず、$\displaystyle s=\sum ^{\infty }_{n=0}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}+…$とし、

次が同値となります。

①sが収束する。

②$\forall \varepsilon  >0\exists n_{0}\in \mathbb{N} [ n >m\geq n_{0}\Rightarrow \left| a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots +a_{n}\right|  < \varepsilon ]$

②が重要。

これは実はコーシー列で、$\left| a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots +a_{n}\right|  < \varepsilon$を和の形$s_{n}$にするとわかるはずだ。

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